絕對值不等式的解法
解決與絕對值有關的問題（如解絕對值不等式，解絕對值方程，研究含有絕對值符號的函數(shù)等等），其關鍵往往在于去掉絕對值的符號。
而去掉絕對值符號的基本方法有二：其一為平方，其二為討論。
所謂平方，比如，|x|=3，可化為x^2=9，絕對值符號沒有了！
所謂討論，即x≥0時，|x|=x ；x<0時，|x|=-x，絕對值符號也沒有了！
以下，具體說說絕對值不等式的解法。
首先說“平方法”。
不等式兩邊可不可以同時平方呢？一般來說，有點問題。比如5>3，平方后，5^2>3^2，但1>-2，平方后，1^2<(-2)^2。
***事實上，本質(zhì)原因在于函數(shù)y=x^2在R上不單調(diào)。
但我們知道，y=x^2在R+上是單調(diào)遞增的，因此不等式兩邊都是非負時，同時平方，不等號的方向不變，這是可以的。
這里說到的***單調(diào)性的問題，是高一數(shù)學的重點內(nèi)容，現(xiàn)在不明白可以跳過，到時候可一定要用心聽!
有初中數(shù)學的基礎，也應該明白，對兩個非負數(shù)來說，大的那個數(shù)，它的平方也相應會大一些;反過來，平方大一些的數(shù)，這個數(shù)本來也會大一些。
比如|2x-1|≥1，兩邊同時平方，可得(2x-1)^2≥1，
整理得4x^2-4x≥0，即4x(x-1)≥0，因此x≤0或x≥1
========注意========
這里用到了“一元二次不等式的解法”，現(xiàn)在的初中肯定還是要學一元二次方程的解法的，學不學一元二次不等式的解法，我就不清楚了。如果沒學，那“平方法”先放一放，跳到“討論法”吧——見華麗的分割線！
========END========
一般地，|f(x)|≥a（a>0），那么f(x)^2)≥a^2，即f(x)^2)-a^2≥0
因式分解得[f(x)+a}[f(x)-a])≥0，因此f(x))≤-a或f(x)≥a （*）
（PS.若a≤0，則|f(x)|≥a的解集為R。想一想，沒問題吧：））
同理，由|f(x)|≤a（a>0），可得-a≤f(x)≤a。 （**）
熟練了以后，結(jié)論（*）、（**）都可以直接使用。
比如|2x-1|＜5，由結(jié)論（**）（當然，這里沒有等號，將等號去掉就可以了）可得：
-5<2x-1<5，即-2<x<3
這樣，第一個問題“1≤|2x-1|＜5”就基本解決了。將不等式|2x-1|≥1，以及不等式|2x-1|＜5的解集求交集即可。答案是解集為{x|-2<x≤0或1≤x<3}
再看第二個問題，|x-3|-|x+1|＜1
這時候有兩個絕對值符號，移項后得到|x-2|<|x+1|+1
平方后（注意，為什么可以兩邊平方?。玫?x-2)^2<(x+1)^2+1+2|x+1|
整理，得2|x+1|>7-8x
你看，平方一次，絕對值符號少了一個，但還有一個，怎么辦？當然再平方一次！但問題是，這次還能平方嗎？
不可以了，因為7-8x的符號未必是正啊！那怎么辦？討論！
若7-8x<0，即x>7/8，則原不等式顯然成立?。槭裁?？） ①
若7-8x≥0，即x≤7/8，則原不等式等價于4(x+1)^2>(7-8x)^2
整理得：4x^2-8x+3<0，即(2x-1)(2x-3)<0，因此1/2<x<3/2
再考慮到x≤7/8，因此1/2<x≤7/8 ②
綜合 ①、②，原不等式的解集為{x|x>1/2}
問題解決了！
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回到問題的一開始，對于|x-3|-|x+1|＜1這樣的不等式，我們更多的時候，可以從一開始進行討論。
|x-3|中的絕對值符號能否去掉？去掉以后，式子會發(fā)生怎樣的變化？關鍵在于x>3還是x<3，
因此x與3的大小關系是一個關鍵。
同樣的道理，考察|x+1|，可以知道x與-1的大小關系也是一個關鍵。
于是，在兩個關鍵處，進行如下的討論：
（1）若x<-1，則x+1<0，x-3<0，
此時，原不等式可化為-(x-3)+(x+1)<1，即4<1，荒謬，舍去！
（2）若-1≤x<3，則x+1≥0，x-3<0，
此時，原不等式可化為-(x-3)-(x+1)<1，即-2x+2<1，解得x>1/2
再考慮到-1≤x<3，因此1/2<x<3
（3）若x≥3，則x+1>0，x-3≥0，
此時，原不等式可化為(x-3)-(x+1)<1，即-4<1，顯然成立！因此x≥3
綜合（2）（3）的結(jié)果可知，原不等式的解集為{x|x>1/2}
那么對于第一個例子，1≤|2x-1|<5，怎么用“討論法”，應該沒問題了吧！
（1）若2x-1≥0，即x≥1/2，則原不等式可化為1≤|2x-1|<5，……
（2）若2x-1<0，即x<1/2，則原不等式可化為1≤1-2x<5，……
以下略。
順便說一下，x=1/2時，2x-1=0，因此數(shù)學上，把x=1/2叫做式“2x-1”的零點。我們以上
使用的“討論法”，更具體的名稱是“零點分段討論法”。
但就其蘊含的數(shù)學思想來說，就是“分類討論”，這可是高中數(shù)學的基本思想方法，一定要掌握！
以上，從絕對值的代數(shù)意義出發(fā)，即“數(shù)”的角度，給出了解絕對值不等式的兩種常規(guī)思路，希望能給你有所啟發(fā)。
考慮到絕對值還有著極為有趣的幾何意義，因此從“形”的角度出發(fā)，也可以得到一些有意思的解法。
這事實上就涉及到高中數(shù)學中另一種極為重要的思想方法，即“數(shù)形結(jié)合”。
篇幅的關系，就不贅述了。（其實，我也累了……）
比如這道初中競賽題：求|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5|的最小值。有興趣可以試一試！
再說明一下，這個帖子我也看到了，準備回答的時候（寫了一些，但沒有你現(xiàn)在看到的這個那么長篇大論），已經(jīng)封貼了。還想著白寫了呢，正好你又發(fā)問，也算是有緣吧……
