跪求初三銳角三角函數(shù)公式
1.1 正弦和余弦
例1 已知0°≤α≤90°.(1)求證:sin2α+cos2α=1;
(2)求證:sinα+cosα≥1,討論在什么情形下等號成立;
(3)已知sinα+cosα=1,求sin3α+cos3α的值.
證明 (1)如圖6-1,當(dāng)0°<α<90°時(shí),sinα=BC/AB,cosα=AC/AB,所以在這種情形下
當(dāng)α=0°時(shí),sinα=0,cosα=1;當(dāng)α=90°,sinα=1,cosα=0.所以在這兩種情形下仍有
sin2α+cos2α=1.
(2)如圖6-1,當(dāng)0°<α<90°時(shí),sinα=BC/AB,cosα=AC/AB.所以在這種情形下
當(dāng)α=0°時(shí),sinα+cosα=0+1=1;當(dāng)α=90°時(shí),sinα+cosα=1+0=1.所以當(dāng)0°≤α≤90°時(shí),總有
sinα+cosα≥1,
當(dāng)并且只當(dāng)α=0°或α=90°時(shí),等號成立.
(3)由于已知sina+cosα=1.由(2)可知α=0°或α=90°,所以總有
sin3α+cos3α=1.
例2 求證:對于0°≤α≤90°,
證法一 如圖6-1,設(shè)BC=a,AC=b,AB=c.由銳角三角函數(shù)
當(dāng)α=0°或α=90°時(shí),容易驗(yàn)證以上等式仍成立.
證法二
點(diǎn)評 證法一是根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義;證法二用了公式sin2α+cos2α=1.
證明一個(gè)三角恒等式成立,可變換等號左(右)端的式子,如得到等號右(左)端的式子,原恒等式就被證明了.一般對較復(fù)雜的式子進(jìn)行變換,也可以對等號左,右的式子都進(jìn)行變換,如得到相同的式子,原恒等式就被證明了.
1.2 正切和余切
證明 (1)當(dāng)0°<α<90°時(shí),如圖6-2,
當(dāng)α=0°時(shí),tgα=0,sinα=0,cosα=1.所以仍有tgα=
(2)α必須滿足不等式:
0°<α<90°.
如圖6-2,
所以tgα·ctgα=1.
例2 已知銳角α,且tgα是方程x2-2x-3=0的一個(gè)根,求
解法一 x2-2x-3=0的兩根為3和-1.這里只能是tgα=3.
如圖6-3,由于tgα=3.因此可設(shè)BC=3,AC=1,從而
解法二 tgα=3,用cos2α除原式分子,分母,得
證法一 如圖6-2,設(shè)BC=a,AC=b,AB=c,則
所以原式成立.
證法二 等式的左端
點(diǎn)評 這里α≠0°,90°.
怎樣理解銳角三角函數(shù)的概念
答:現(xiàn)行初中幾何課本中給出銳角三角函數(shù)的定義,是依據(jù)這樣一個(gè)基本事實(shí):在直角三角形中,當(dāng)銳角固定時(shí),它的對邊,鄰邊與斜邊的比值是一個(gè)固定的值.
關(guān)于這點(diǎn),我們看圖1,圖中的直角三角形AB1C1,AB2C2,AB3C3,…都有一個(gè)相等的銳角A,即銳角A取一個(gè)固定值.如圖所示,許許多多直角三角形中相等的那個(gè)銳角疊合在一起,并使一條直角邊落在同一條直線上,那么斜邊必然都落在另一條直線上.不難看出,
B1C1‖B2C2‖B3C3‖…,
∵△AB1C1∽△AB2C2∽△AB3C3∽…,
因此,在這些直角三角形中,∠A的對邊與斜邊的比值是一個(gè)固定的值.
根據(jù)同樣道理,由相似形知識可以知道,在這些直角三角形中,∠A的對邊與鄰邊的比值,∠A的鄰邊與斜邊的比值都分別是某個(gè)固定的值.
這樣在△ABC中,∠C為直角,我們把銳角A的對邊與斜邊的比叫做∠A的正弦,記作sinA;銳角A鄰邊與斜邊的比叫做∠A的余弦,記作cosA;銳角A的對邊與鄰邊的比叫做∠A的正切,記作tgA;銳角A的鄰邊與對邊的比叫做∠A的余切,記作ctgA,于是我們得到銳角A的四個(gè)銳角三角函數(shù),即
深刻理解銳角三角函數(shù)定義,要注意以下幾點(diǎn):
(1)角A的銳角三角函數(shù)值與三角形的大小,即邊的長短無關(guān).
只要角A一旦確定,四個(gè)比值就隨之而定;角A變化時(shí).四個(gè)比值對應(yīng)變化.這正體現(xiàn)了函數(shù)的特點(diǎn),銳角三角函數(shù)也是一種函數(shù),這里角A是自變量,對于每一個(gè)確定的角A,上面四個(gè)比值都有唯一確定的值與之對應(yīng),因此,銳角三角函數(shù)是以角為自變量,以比值為函數(shù)值的函數(shù).
(2)準(zhǔn)確理解銳角三角函數(shù)定義,要熟記每個(gè)銳角三角函數(shù)是怎樣規(guī)定的,是角的哪條邊與哪條邊的比;在具體應(yīng)用定義時(shí),要注意分清圖形中,哪條邊是角的對邊,哪條邊是角的鄰邊,哪條邊是斜邊.
[例] 求出圖2中sinD,tgE的值.
(3)sinA等是一個(gè)完整的符號.
整的符號,不能看成sin與A的乘積.離開角A的sin沒有什么意義,其他三個(gè)cosA,tgA,ctgA等也是這樣.所以寫時(shí)不能把sin與A分開.
銳角三角函數(shù)定義把形與數(shù)結(jié)合起來,從事物的相互聯(lián)系去觀察,對直角三角形不是孤立地看它的角,它的邊,而是抓住了它們之間的聯(lián)系,從而為深入研究問題打開了思路,奠定了基礎(chǔ).從定義的導(dǎo)出過程不難看出,銳角三角函數(shù)是數(shù)(比值)和形(角A)完美結(jié)合的結(jié)果,同學(xué)們應(yīng)該在學(xué)習(xí)中很好地體會和掌握這種研究問題的思想方法.
計(jì)算
解答題
3. 在Rt△ABC中,∠C=90°,若sinA是方程5x2 -14x+8=0的一個(gè)根,求sinA,tgA.
4. q為三角形的一個(gè)角,如果方程10x2-(10cosq)x-3cosq+4=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根,求tgq.
答案
3. 解:∵sinA是方程5x2-14x+8=0的一個(gè)根
則5sin2A-14sinA+8=0
4. 解:∵100cos2q-40(4-3cosq)=0
即5cos2q+6cosq-8=0
