莫比烏斯帶是什么？

對于這樣一個看來十分簡單的問題，數(shù)百年間，曾有許多科學家進行了認真研究，結果都沒有成功。后來，德國的數(shù)學家麥比烏斯對此發(fā)生了濃厚興趣，他長時間專心思索、試驗，也毫無結果。 有一天，他被這個問題弄得頭昏腦漲了，便到野外去散步。新鮮的空氣，清涼的風，使他頓時感到輕松舒適，但他頭腦里仍然只有那個尚未找到的圈兒。 一片片肥大的玉米葉子，在他眼里變成了“綠色的紙條兒”，他不由自主地蹲下去，擺弄著、觀察著。葉子彎取著聳拉下來，有許多扭成半圓形的，他隨便撕下一片，順著葉子自然扭的方向對接成一個圓圈兒，他驚喜地發(fā)現(xiàn)，這“綠色的圓圈兒”就是他夢寐以求的那種圈圈。 麥比烏斯回到辦公室，裁出紙條，把紙的一端扭轉180°，再將一端的正面和背面粘在一起，這樣就做成了只有一個面的紙圈兒。 圓圈做成后，麥比烏斯捉了一只小甲蟲，放在上面讓它爬。結果，小甲蟲不翻越任何邊界就爬遍了圓圈兒的所有部分。麥比烏斯圈激動地說：“公正的小甲蟲，你無可辯駁地證明了這個圈兒只有一個面?！?麥比烏斯圈就這樣被發(fā)現(xiàn)了。
奇妙的麥比烏斯圈
做幾個簡單的實驗，就會發(fā)現(xiàn)“麥比烏斯圈”有許多讓我們驚奇有趣的結果。 你弄好一個圈,粘好,繞一圈后可以發(fā)現(xiàn),另一個面的入口被堵住了,原理就是這樣啊.莫比烏斯帶[1]實驗1
如果在裁好的一張紙條正中間畫一條線，粘成“麥比烏斯圈”，再沿線剪開，把這個圈一分為二，照理應得到兩個圈兒，奇怪的是，剪開后竟是一個大圈兒。
實驗2
如果在紙條上劃兩條線，把紙條三等分，再粘成“麥比烏斯圈”，用剪刀沿畫線剪開，剪刀繞兩個圈竟然又回到原出發(fā)點，猜一猜，剪開后的結果是什么，是一個大圈？還是三個圈兒？都不是。它究竟是什么呢？你自己動手做這個實驗就知道了。你就會驚奇地發(fā)現(xiàn)，紙帶不一分為二，一大一小的相扣環(huán)。 有趣的是：新得到的這個較長的紙圈，本身卻是一個雙側曲面，它的兩條邊界自身雖不打結，但卻相互套在一起。我們可以把上述紙圈，再一次沿中線剪開，這回可真的一分為二了！得到的是兩條互相套著的紙圈，而原先的兩條邊界，則分別包含于兩條紙圈之中，只是每條紙圈本身并不打結罷了。 關于麥比烏斯圈的單側性，可如下直觀地了解，如果給麥比烏斯圈著色，色筆始終沿曲面移動，且不越過它的邊界，最后可把麥比烏斯圈兩面均涂上顏色 ，即區(qū)分不出何是正面，何是反面。對圓柱面則不同，在一側著色不通過邊界不可能對另一側也著色。單側性又稱不可定向性。以曲面上除邊緣外的每一點為圓心各畫一個小圓，對每個小圓周指定一個方向，稱為相伴麥比烏斯圈單側曲面圓心點的指向，若能使相鄰兩點相伴的指向相同，則稱曲面可定向，否則稱為不可定向。麥比烏斯圈是不可定向的。 麥比烏斯圈還有著更為奇異的特性。一些在平面上無法解決的問題，卻不可思議地在麥比烏斯圈上獲得了解決。比如在普通空間無法實現(xiàn)的“手套易位問題”：人左右兩手的手套雖然極為相像，但卻有著本質的不同。我們不可能把左手的手套貼切地戴到右手上去；也不能把右手的手套貼切地戴到左手上來。無論你怎么扭來轉去，左手套永遠是左手套，右手套也永遠是右手套。不過，倘若你把它搬到麥比烏斯圈上來，那么解決起來就易如反掌了。 “手套易位問題”告訴我們：堵塞在一個扭曲了的面上，左、右手系的物體可以通過扭曲實現(xiàn)轉換。讓我們展開想象的翅膀，設想我們的空間在宇宙的某個邊緣，呈現(xiàn)出麥比烏斯圈式的彎曲。那么，有朝一日，我們的星際宇航員會帶著左胸腔的心臟出發(fā)，卻帶著右胸腔的心臟返回地球呢！瞧，麥比烏斯圈是多么的神奇！但是，麥比烏斯圈具有一條非常明顯的邊界。這似乎是一種美中不足。公元1882年，另一位德國數(shù)學家費力克斯?克萊茵（Felix Klein，1849～1925），終于找到了一種自我封閉而沒有明顯邊界的模型，后來以他的名字命名為“克萊因瓶”。這種怪瓶實際上可以看作是由一對麥比烏斯圈，沿邊界粘合而成。 “麥比烏斯帶”有點神秘，一時又派 不上用場，但是人們還是根據它的特性編出了一些故事，據說有一個小偷偷了一位很老實農民的東西，并被當場捕獲，將小偷送到縣衙，縣官發(fā)現(xiàn)小偷正是自己的兒子。于是在一張紙條的正面寫上：小偷應當放掉，而在紙的反面寫了：農民應當關押?？h官將紙條交給執(zhí)事官由他去辦理。聰明的執(zhí)事官將紙條扭了個彎，用手指將兩端捏在一起。然后向大家宣布：根據縣太爺?shù)拿罘诺艮r民，關押小偷?？h官聽了大怒，責問執(zhí)事官。執(zhí)事官將紙條捏在手上給縣官看，從“應當”二字讀起，確實沒錯。仔細觀看字跡，也沒有涂改，縣官不知其中奧秘，只好自認倒霉。 縣官知道執(zhí)事官在紙條上做了手腳，懷恨在心，伺機報復。一日，又拿了一張紙條，要執(zhí)事官一筆將正反兩面涂黑，否則就要將其拘役。執(zhí)事官不慌不忙地把紙條扭了一下，粘住兩端，提筆在紙環(huán)上一劃，又拆開兩端，只見紙條正反面均涂上黑色。縣官的毒計又落空了。 現(xiàn)實可能根本不會發(fā)生這樣的故事，但是這個故事卻很好地反映出“莫比烏斯帶”的特點。