二元一次方程相關(guān)(二元一次方程組的解法和概念)

1.二元一次方程組的解法和概念

二元一次方程組（2張） 1. 認(rèn)識二元一次方程組的有關(guān)概念，會把一些簡單的實(shí)際問題中的數(shù)量關(guān)系，用二元一次方程組表示出來。

2. 領(lǐng)會并掌握解二元一次方程組的方法，根據(jù)方程組的情況，能恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用“代入消元法”和“加減消元法”解方程組。 3. 體會解二元一次方程組中的“消元”思想，即通過消元把二元一次方程轉(zhuǎn)化成一元一次方程，由此感受“化歸”思想的廣泛作用，提高分析問題和解決問題的能力。

解方程組 求方程組的解的過程，叫做解方程組。 編輯本段二、知識要點(diǎn) 1. 二元一次方程 （1）概念：含有兩個(gè)未知數(shù)，并且含有未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1的方程，叫做二元一次方程. 你能區(qū)分這些方程嗎？5x+3y=75;3x+1=8x;+y=2;2xy=9。

對二元一次方程概念的理解應(yīng)注意以下幾點(diǎn)： ①等號兩邊的代數(shù)式是整式； ②在方程中“元”是指未知數(shù)，二元是指方程中含有兩個(gè)未知數(shù)； ③未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1，實(shí)際上是指方程中最高次項(xiàng)的次數(shù)為1，在此可與多項(xiàng)式的次數(shù)進(jìn)行比較理解，切不可理解為兩個(gè)未知數(shù)的次數(shù)都是1. (2)二元一次方程的解 使二元一次方程兩邊相等的一組未知數(shù)的值，叫做二元一次方程的一個(gè)解. 對二元一次方程的解的理解應(yīng)注意以下幾點(diǎn)： ①一般地，一個(gè)二元一次方程的解有無數(shù)個(gè)，且每一個(gè)解都是指一對數(shù)值，而不是指單獨(dú)的一個(gè)未知數(shù)的值； ②二元一次方程的一個(gè)解是指使方程左右兩邊相等的一對未知數(shù)的值；反過來，如果一組數(shù)值能使二元一次方程左右兩邊相等，那么這一組數(shù)值就是方程的解； ③在求二元一次方程的解時(shí)，通常的做法是用一個(gè)未知數(shù)把另一個(gè)未知數(shù)表示出來，然后給定這個(gè)未知數(shù)一個(gè)值，相應(yīng)地得到另一個(gè)未知數(shù)的值，這樣可求得二元一次方程的一個(gè)解. 你能試著解方程3x-y=6嗎？ 2. 二元一次方程組 （1）二元一次方程組：由兩個(gè)二元一次方程所組成的一組方程，叫做二元一次方程組. （2）二元一次方程組的解：二元一次方程組中兩個(gè)方程的公共解，叫做二元一次方程組的解. 對二元一次方程組的理解應(yīng)注意： ①方程組各方程中，相同的字母必須代表同一數(shù)量，否則不能將兩個(gè)方程合在一起. ②怎樣檢驗(yàn)一組數(shù)值是不是某個(gè)二元一次方程組的解，常用的方法如下：將這組數(shù)值分別代入方程組中的每個(gè)方程，只有當(dāng)這組數(shù)值滿足其中的所有方程時(shí)，才能說這組數(shù)值是此方程組的解，否則，如果這組數(shù)值不滿足其中任一個(gè)方程，那么它就不是此方程組的解. 3. 代入消元法 （1）概念：將方程組中一個(gè)方程的某個(gè)未知數(shù)用含有另一個(gè)未知數(shù)的代數(shù)式表示出來，代入另一個(gè)方程中，消去一個(gè)未知數(shù)，得到一個(gè)一元一次方程，最后求得方程組的解. 這種解方程組的方法叫做代入消元法，簡稱代入法. （2）代入法解二元一次方程組的步驟 ①選取一個(gè)系數(shù)較簡單的二元一次方程變形，用含有一個(gè)未知數(shù)的代數(shù)式表示另一個(gè)未知數(shù)； ②將變形后的方程代入另一個(gè)方程中，消去一個(gè)未知數(shù)，得到一個(gè)一元一次方程（在代入時(shí)，要注意不能代入原方程，只能代入另一個(gè)沒有變形的方程中，以達(dá)到消元的目的. ）； ③解這個(gè)一元一次方程，求出未知數(shù)的值； ④將求得的未知數(shù)的值代入①中變形后的方程中，求出另一個(gè)未知數(shù)的值； ⑤用“{”聯(lián)立兩個(gè)未知數(shù)的值，就是方程組的解； ⑥最后檢驗(yàn)求得的結(jié)果是否正確（代入原方程組中進(jìn)行檢驗(yàn)，方程是否滿足左邊=右邊）. 4. 加減消元法 （1）概念：當(dāng)方程中兩個(gè)方程的某一未知數(shù)的系數(shù)相等或互為相反數(shù)時(shí)，把這兩個(gè)方程的兩邊相加或相減來消去這個(gè)未知數(shù)，從而將二元一次方程化為一元一次方程，最后求得方程組的解，這種解方程組的方法叫做加減消元法，簡稱加減法. （2）加減法解二元一次方程組的步驟 ①利用等式的基本性質(zhì)，將原方程組中某個(gè)未知數(shù)的系數(shù)化成相等或相反數(shù)的形式； ②再利用等式的基本性質(zhì)將變形后的兩個(gè)方程相加或相減，消去一個(gè)未知數(shù)，得到一個(gè)一元一次方程（一定要將方程的兩邊都乘以同一個(gè)數(shù)，切忌只乘以一邊，然后若未知數(shù)系數(shù)相等則用減法，若未知數(shù)系數(shù)互為相反數(shù)，則用加法）； ③解這個(gè)一元一次方程，求出未知數(shù)的值； ④將求得的未知數(shù)的值代入原方程組中的任何一個(gè)方程中，求出另一個(gè)未知數(shù)的值； ⑤用“{”聯(lián)立兩個(gè)未知數(shù)的值，就是方程組的解； ⑥最后檢驗(yàn)求得的結(jié)果是否正確（代入原方程組中進(jìn)行檢驗(yàn)，方程是否滿足左邊=右邊）. 編輯本段三、重點(diǎn)難點(diǎn) 本節(jié)重點(diǎn)內(nèi)容是二元一次方程組的概念以及如何用代入法和加減法解二元一次方程組，難點(diǎn)是根據(jù)方程的具體形式選擇合適的解法。 典型例題 例1. 下列各方程中，哪個(gè)是二元一次方程？ （1）8x-y=y;(2)xy=3;(3)2x-y=9;(4)=2. 分析：此題判斷的根據(jù)是二元一次方程的定義. 由于方程（2）中含未知數(shù)的項(xiàng)xy的次數(shù)是2，而不是1，所以xy=3不是二元一次方程；2x-y=9是二元一次方程；又因?yàn)榉匠蹋?）中的不是整式，所以=2也不是二元一次方程. 解：方程8x-y=y,2x-y=9是二元一次方程；xy=3,=2不是二元一次方程. 評析：判定某個(gè)方程是不是二元一次方程，可先把它化成一般形式，再根據(jù)定義進(jìn)行判斷. 例2. 已知是方程組的解，求m+n的值。

2.二元一次方程詳解

1.已知二元一次方程X/3-Y/4=1，當(dāng)X=0時(shí)，Y=？當(dāng)X=？時(shí)Y=0

解：將方程化為y=4(x/3-1)

當(dāng)x=0時(shí)，y=4X(-1)=-4

當(dāng)y=0時(shí)，x/3-1=0

解得x=3

2.已知關(guān)于XY的方程{A+2Y=10 的解是{X=-2 那么A=? B=?

{4X+BY=2A-1 {Y=3

解：將x=-2,y=3代入方程組得

A=10-2*3=4

-2*4+3B=2*4-1

B=(16-1)/3=5

所以A=4,B=5

3. 若3X-Y-1+(X+Y)2=0則X=?Y=?

解：此題有問題

隨便取x=-1，則有-3-y-1+(-1+y)^2=0

y^2-3y-3=0,y有兩個(gè)值

再隨便取x=0，則有y^2-y-1=0,y依然有兩個(gè)值

再隨便取x=-2，則有-6-y-1+(-2+y)^2=0

y^2-5y-3=0,y還是有兩個(gè)值

開玩笑，你繼續(xù)舉無窮個(gè)例，y有無窮個(gè)值，別出這樣的題來糊人。

樓上說無解，不準(zhǔn)，是有無窮解。這是兩碼事。

4.{m/2-N/2=2

{2M=3N=4

解：由2式得

M=2,N=4/3

代入一式，知道你的題抄錯(cuò)了。僅此而以

5.{5X-2Y=3

{X=6Y=11

解：由二式得

x=11,y=11/6

代入一式，知道，你的題又抄錯(cuò)了。還是這樣而以

6.已知方程AX=BY=11的兩個(gè)解是{X=1 {X=5 求A、B 的值

{Y=-4 {Y=2

代入第一組解得

A=11,B=-11/4

代入第二組解得

A=11/5

B=11/2

這樣的學(xué)習(xí)態(tài)度。

7.{X/3-Y/2=-5

{X/7-Y/4=-1

去分母得

2X-3Y=-30

4X-7Y=-28

一式X2-二式得

Y=-32

X=-63

就這題還沒出問題。

3.二元一次方程的簡介

1. 含有兩個(gè)未知數(shù)，且未知數(shù)的次數(shù)是1的方程，叫做二元一次方程。

2. 任何一個(gè)二元一次方程都是不定方程。即它有無數(shù)組解。

如： x + y = 5 的解有：

…………

x = - 3 , y = 8

x = - 2, y = 7

x = - 1, y = 6

x = 0 , y = 5

x = 1, y = 4

x = 2, y = 3

…………

這還沒算小數(shù)解和無理數(shù)解。

3. 一個(gè)二元一次方程，就是一個(gè)x、y之間的關(guān)系，或者說是一個(gè)解題條件。

由于二元一次方程組含有兩個(gè)未知數(shù)，所以要解決它，得有兩個(gè)條件，這也就是二元一次方程問題都是以方程組的形式出現(xiàn)的原因。

4. 一元一次方程已經(jīng)學(xué)過，會解！那么解決二元一次方程的思路就是通過“同解變形”，把二元一次方程組轉(zhuǎn)化為一元一次方程求解問題?；睘楹?，這也符合人類認(rèn)識世界的思維習(xí)慣。

5. 解二元一次方程組初二只學(xué)兩種方法：加減消元法、代入消元法

一個(gè)題到底使用哪種方法，要看題的系數(shù)情況：

如果 x 的系數(shù)或y的系數(shù)相等，就用“加減消元法” （方程① - 方程②）

如果 x 的系數(shù)或y的系數(shù)互為相反數(shù)，也用“加減消元法” （方程① + 方程②）

如果兩個(gè)方程中有一個(gè)方程的一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)是 1或 -1 就用代入消元法。

如果沒有以上系數(shù)特征，隨便選一種方法，都可。

6. 在大學(xué)數(shù)學(xué)里還有兩種方法：行列式法、增廣矩陣法，聽起來怕怕，其實(shí)也很簡單。

7. 當(dāng)然了，也可以使用一次函數(shù)圖像知識，用圖像法解決。

4.二元一次方程的所有解法與原理

解二元一次方程組的主要思路就是消元，把二元一次方程組變?yōu)橐辉淮畏匠虂砬蠼?/p>

常用的有加減消元和代入消元兩種

下面針對本題，分別用兩種方法做一下

1.加減消元

3x-2y=11…………①

2x+3y=16…………②

①*3，②*2，原方程組變?yōu)?/p>

9x-6y=33…………③

4x+6y=32…………④

③+④，得：

13x=65

x=5

代入①，得：

3*5-2y=11

15-2y=11

2y=4

y=2

2.代入消元

3x-2y=11…………①

2x+3y=16…………②

由①，得：

y=(3x-11)/2

代入②，得：

2x+3(3x-11)/2=16

現(xiàn)在就成了一個(gè)一元一次方程

同時(shí)乘2，得：

4x+3(3x-11)=32

4x+9x-33=32

13x=65

x=5

y=(3*5-11)/2=2