三角形的(三角形的全部知識(shí))
1.三角形的全部知識(shí)
1、三角形的分類
三角形按邊的關(guān)系分類如下：
三角形包括不等邊三角形和等腰三角形
等腰三角形 包括底和腰不相等的等腰三角形和等邊三角形
三角形按角的關(guān)系分類如下：
三角形包括 直角三角形（有一個(gè)角為直角的三角形）和斜三角形
斜三角形 包括 銳角三角形（三個(gè)角都是銳角的三角形）和 鈍角三角形（有一個(gè)角為鈍 角的三角形）
把邊和角聯(lián)系在一起，我們又有一種特殊的三角形：等腰直角三角形。它是兩條直角邊相等的直角三角形。
2、三角形的三邊關(guān)系定理及推論
(1)三角形三邊關(guān)系定理：三角形的兩邊之和大于第三邊。
推論：三角形的兩邊之差小于第三邊。
3、三角形的內(nèi)角和定理及推論
三角形的內(nèi)角和定理：三角形三個(gè)內(nèi)角和等于180°。
推論：
①直角三角形的兩個(gè)銳角互余。
②三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的來(lái)兩個(gè)內(nèi)角的和。
③三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角。
注：在同一個(gè)三角形中：等角對(duì)等邊；等邊對(duì)等角；大角對(duì)大邊；大邊對(duì)大角。
4、三角形的面積
三角形的面積=*底*高
全等三角形
1、全等三角形的概念
能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫做全等三角形。
2、三角形全等的判定
三角形全等的判定定理：
(1)邊角邊定理：有兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可簡(jiǎn)寫(xiě)成“邊角邊”或“SAS”）
(2)角邊角定理：有兩角和它們的夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可簡(jiǎn)寫(xiě)成“角邊角”或“ASA”）
(3)邊邊邊定理：有三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可簡(jiǎn)寫(xiě)成“邊邊邊”或“SSS”）。
直角三角形全等的判定：
對(duì)于特殊的直角三角形，判定它們?nèi)葧r(shí)，還有HL定理（斜邊、直角邊定理）：有斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等（可簡(jiǎn)寫(xiě)成“斜邊、直角邊”或“HL”）
3、全等變換
只改變圖形的位置，不改變其形狀大小的圖形變換叫做全等變換。
全等變換包括一下三種：
(1)平移變換：把圖形沿某條直線平行移動(dòng)的變換叫做平移變換。
(2)對(duì)稱變換：將圖形沿某直線翻折180°，這種變換叫做對(duì)稱變換。
(3)旋轉(zhuǎn)變換：將圖形繞某點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定的角度到另一個(gè)位置，這種變換叫做旋轉(zhuǎn)變換。
等腰三角形
1、等腰三角形的性質(zhì)
(1)等腰三角形的性質(zhì)定理及推論：
定理：等腰三角形的兩個(gè)底角相等（簡(jiǎn)稱：等邊對(duì)等角）
推論1：等腰三角形頂角平分線平分底邊并且垂直于底邊。即等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高重合。
推論2：等邊三角形的各個(gè)角都相等，并且每個(gè)角都等于60°。
2、三角形中的中位線
連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線。
(1)三角形共有三條中位線，并且它們又重新構(gòu)成一個(gè)新的三角形。
(2)要會(huì)區(qū)別三角形中線與中位線。
三角形中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于它的一半。
三角形中位線定理的作用：
位置關(guān)系：可以證明兩條直線平行。
數(shù)量關(guān)系：可以證明線段的倍分關(guān)系。
常用結(jié)論：任一個(gè)三角形都有三條中位線，由此有：
結(jié)論1：三條中位線組成一個(gè)三角形，其周長(zhǎng)為原三角形周長(zhǎng)的一半。
結(jié)論2：三條中位線將原三角形分割成四個(gè)全等的三角形。
結(jié)論3：三條中位線將原三角形劃分出三個(gè)面積相等的平行四邊形。
結(jié)論4：三角形一條中線和與它相交的中位線互相平分。
結(jié)論5：三角形中任意兩條中位線的夾角與這夾角所對(duì)的三角形的頂角相等。
2.三角形的所有知識(shí)點(diǎn),包括作圖
三角形知識(shí)的實(shí)際運(yùn)用
保明華
三角形知識(shí)主要包括三角形內(nèi)的有關(guān)線段，三角形的三邊關(guān)系，三角形的內(nèi)角和及多邊形的內(nèi)角和。本文以三角形的邊、角關(guān)系為例，談?wù)勂湓趯?shí)際中的應(yīng)用。
三角形的三邊關(guān)系是：三角形的任意兩邊之和大于第三邊；三角形的三角關(guān)系是：三角形的內(nèi)角和是180°，任一外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角之和。
例1（山西省中考題）如圖1，平面上有A,B,C,D四個(gè)村莊，為了解決當(dāng)?shù)厝彼畣?wèn)題，政府準(zhǔn)備投資修建一個(gè)蓄水池，（不考慮其他因素）請(qǐng)你畫(huà)圖確定蓄水池H點(diǎn)的位置，使它與四個(gè)村莊的距離之和最小。
解析 蓄水池H，應(yīng)建在四邊形ABCD兩對(duì)角線的交點(diǎn)處才符合要求。
不妨任取一點(diǎn)P，由“三角形的兩邊之和大于第三邊”可推出：PA+PC≥AC PB+PD≥BD
所以PA+PB+PC+PD≥AC+BD
即PA+PB+PC+PD≥HA+HB+HC+HD
所以兩條對(duì)角線的交點(diǎn)H到四個(gè)村莊的距離之和最小。
例2（寧夏回族自治區(qū)中考題）一個(gè)零件的形狀如圖2所示，按規(guī)定∠A應(yīng)等于 ，∠B和∠C應(yīng)分別是32°和21°。檢驗(yàn)工人量得∠BDC=148°，就斷定這個(gè)零件不合格，運(yùn)用三角形的有關(guān)知識(shí)說(shuō)明零件不合格的理由。
解析 要說(shuō)明零件不符合規(guī)格，只要說(shuō)明按規(guī)定的標(biāo)準(zhǔn)，∠CDB≠148°即可。延長(zhǎng)BD交AC于點(diǎn)E。∠BDC=∠1+∠C（你知道為什么嗎？）∠1=∠A+∠B。即∠BDC=∠A+∠B+∠C=90°+32°+21°=143°≠148°。
所以這個(gè)零件不合格。
例3 某工程隊(duì)準(zhǔn)備開(kāi)挖一條隧道，從縮短工期考慮，自山的兩側(cè)同時(shí)開(kāi)挖。為了確保兩側(cè)開(kāi)挖的隧道在同一條直線上，測(cè)量人員在如圖3的同一高度定出了兩個(gè)基準(zhǔn)點(diǎn)P（可同時(shí)看到點(diǎn)A,M,N）和Q，然后在左邊定出開(kāi)挖的方向線AM，為了準(zhǔn)確定出右邊開(kāi)挖的方向線BN，測(cè)得∠A=25°，∠APQ=120°，如果點(diǎn)A,M,B在同一直線上，那么∠PBN應(yīng)等于多少度才能確定N點(diǎn)的位置使與點(diǎn)A,M,B在同一條直線上？
解析 因?yàn)辄c(diǎn)A,M,B在同一直線上，若N點(diǎn)也在這條直線上時(shí)，則PA,PB和AMNB構(gòu)成了三角形的三邊，∠NBP是該三角形的一個(gè)內(nèi)角，其度數(shù)為180°-∠A-∠P=180°-25°-120°=35°。
3.三角形知識(shí) 初二 20個(gè)知識(shí)點(diǎn)
三角形的定義 三角形是多邊形中邊數(shù)最少的一種。
它的定義是：由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接組成的圖形叫做三角形。 三條線段不在同一條直線上的條件，如果三條線段在同一條直線上，我們認(rèn)為三角形就不存在。
另外三條線段必須首尾順次相接，這說(shuō)明三角形這個(gè)圖形一定是封閉的。三角形中有三條邊，三個(gè)角，三個(gè)頂點(diǎn)。
三角形中的主要線段 三角形中的主要線段有：三角形的角平分線、中線和高線。 這三條線段必須在理解和掌握它的定義的基礎(chǔ)上，通過(guò)作圖加以熟練掌握。
并且對(duì)這三條線段必須明確三點(diǎn)： （1）三角形的角平分線、中線、高線均是線段，不是直線，也不是射線。 （2）三角形的角平分線、中線、高線都有三條，角平分線、中線，都在三角形內(nèi)部。
而三角形的高線在當(dāng)△ABC是銳角三角形時(shí)，三條高都是在三角形內(nèi)部，鈍角三角形的高線中有兩個(gè)垂足落在邊的延長(zhǎng)線上，這兩條高在三角形的外部，直角三角形中有兩條高恰好是它的兩條直角邊。 （3）在畫(huà)三角形的三條角平分線、中線、高時(shí)可發(fā)現(xiàn)它們都交于一點(diǎn)。
在以后我們可以給出具體證明。今后我們把三角形三條角平分線的交點(diǎn)叫做三角形的內(nèi)心，三條中線的交點(diǎn)叫做三角形的重心，三條高的交點(diǎn)叫做三角形的垂心。
三角形的按邊分類 三角形的三條邊，有的各不相等，有的有兩條邊相等，有的三條邊都相等。所以三角形按邊的相等關(guān)系分類如下： 等邊三角形是等腰三角形的一種特例。
判定三條邊能否構(gòu)成三角形的依據(jù) △ABC的三邊長(zhǎng)分別是a、b、c，根據(jù)公理“連接兩點(diǎn)的所有線中，線段最短”。可知： ③a+b>c，①a+c>b，②b+c>a 定理：三角形任意兩邊的和大于第三邊。
由②、③得 b―a―c 故|a―b|-a.也就是a+c>b且a+b>c，再加上b+c>a，便滿足任意兩邊之和大于第三邊的條件。反過(guò)來(lái)，只要a、b、c三條線段滿足能構(gòu)成三角形的條件，則一定有|b-c|a就可判定a、b、c三條線段能夠構(gòu)成三角形。
同時(shí)如果已知線段a最小，只要滿足|b-c。
4.簡(jiǎn)單說(shuō)一下有關(guān)三角形的數(shù)學(xué)知識(shí)
什么是三角形？ 由三條邊首尾相接組成的內(nèi)角和為180°的封閉圖形叫做三角形 例題：已知有一△ABC，求證∠ABC+∠BAC+∠BCA=180° 證明：做BC的延長(zhǎng)線至點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)C作AB的平行線至點(diǎn)E ∵AB‖CE（已知） ∴∠ABC=∠ECD（兩直線平行，同位角相等），∠BAC=∠ACE（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等） ∵∠BCD=180° ∴∠ACB+∠ACE+∠ECD=∠BCD=180°（等式的性質(zhì)） ∴∠ABC+∠BAC+∠BCA=180°（等量代換） 三角形是幾何圖案的基本圖形，幾邊形都是由三角形組成的。
兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)。 三角形的內(nèi)角和 三角形的內(nèi)角和為180度；三角形的一個(gè)外角等于另外兩個(gè)內(nèi)角的和；三角形的一個(gè)外角大于其他兩內(nèi)角的任一個(gè)角。
證明：根據(jù)三角形的外角和等于內(nèi)角可以證明，詳細(xì)參見(jiàn)《優(yōu)因培：走進(jìn)三角形》 （1）如何證明三角形的內(nèi)角和 方法1：將三角形的三個(gè)角撕下來(lái)拼在一起，求出內(nèi)角和為180° 方法2：在三角形任意一個(gè)頂點(diǎn)處做輔助線，可求出內(nèi)角和為180°編輯本段三角形分類 （1）按角度分 a.銳角三角形：三個(gè)角都小于90度 。并不是有一個(gè)銳角的三角形，而是三個(gè)角都為銳角，比如等邊三角形也是銳角三角形。
b.直角三角形（簡(jiǎn)稱Rt 三角形）： ⑴直角三角形兩個(gè)銳角互余； ⑵直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半； ⑶在直角三角形中，如果有一個(gè)銳角等于30°，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半.； ⑷在直角三角形中，如果有一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對(duì)的銳角等于30°（和⑶相反）； c.鈍角三角形：有一個(gè)角大于90度（銳角三角形，鈍角三角形統(tǒng)稱斜三角形）。 d.證明全等時(shí)可用HL方法 （2）按角分 a.銳角三角形：三個(gè)角都小于90度。
b.直角三角形：有一個(gè)角等于90度。 c.鈍角三角形：有一個(gè)角大于90度。
（銳角三角形和鈍角三角形可統(tǒng)稱為斜三角形） （3）按邊分 不等腰三角形；等腰三角形（含等邊三角形）。編輯本段解直角三角形： 勾股定理，只適用于直角三角形（外國(guó)叫“畢達(dá)哥拉斯定理”） a^2+b^2=c^2， 其中a和b分別為直角三角形兩直角邊，c為斜邊。
勾股弦數(shù)是指一組能使勾股定理關(guān)系成立的三個(gè)正整數(shù)。比如：3,4,5。
他們分別是3,4和5的倍數(shù)。 常見(jiàn)的勾股弦數(shù)有：3,4,5;6,8,10;5,12,13；等等.編輯本段解斜三角形 在三角形ABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c. 則有 （1）正弦定理 a/SinA=b/SinB= c/SinC=2r （外接圓半徑為r） (2)余弦定理。
a^2=b^2+c^2-2bc*CosA b^2=a^2+c^2-2ac*CosB c^2=a^2+b^2-2ab*CosC (3)余弦定理變形公式 cosA=(b^2+C^2-a^2)/2bC cosb=(a^2+c^2-b^2)/2aC cosC=(a^2+b^2-C^2)/2ab編輯本段三角形的性質(zhì) 1.三角形的任何兩邊的和一定大于第三邊 ，由此亦可證明得三角形的任意兩邊的差一定小于第三邊。 2.三角形內(nèi)角和等于180度 3.等腰三角形的頂角平分線，底邊的中線，底邊的高重合，即三線合一。
4.直角三角形的兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方--勾股定理。直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半。
5.三角形的外角（三角形內(nèi)角的一邊與其另一邊的延長(zhǎng)線所組成的角）等于與其不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角之和。 6.一個(gè)三角形最少有2個(gè)銳角。
7.三角形的角平分線：三角形一個(gè)角的平分線與這個(gè)角的對(duì)邊相交，這個(gè)角的頂點(diǎn)和交點(diǎn)之間的線段。 8.等腰三角形中，等腰三角形頂角的平分線平分底邊并垂直于底邊。
9.勾股定理逆定理：如果三角形的三邊長(zhǎng)a,b,c有下面關(guān)系（a^2+b^2=c^2。） 那么這個(gè)三角形就一定是直角三角形。
10.三角形的外角和是360°。 11.等底等高的三角形面積相等。
12.底相等的三角形的面積之比等于其高之比，高相等的三角形的面積之比等于其底之比。 13.三角形三條中線的長(zhǎng)度的平方和等于它的三邊的長(zhǎng)度平方和的3/4。
14.在△ABC中恒滿足tanAtanBtanC=tanA+tanB+tanC。 15.三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)與它不相鄰的內(nèi)角。
16.全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等。 17.三角形的中心在三條中線的交點(diǎn)上。
18在三角形中至少有一個(gè)角大于等于60度，也至少有一個(gè)角小于等于60度。編輯本段三角形的五心、四圓、三點(diǎn)、一線 三角形的五心四圓三點(diǎn)一線這些是三角形的全部特殊點(diǎn)，以及基于這些特殊點(diǎn)的相關(guān)幾何圖形。
“五心”指重心（barycenter）、垂心、內(nèi)心（incenter）、外心（circumcenter）和旁心；“四圓”為內(nèi)切圓、外接圓、旁切圓和歐拉圓；“三點(diǎn)”是勒莫恩點(diǎn)、奈格爾點(diǎn)和歐拉點(diǎn)；“一線”即歐拉線。 以下記三角形的三個(gè)頂點(diǎn)為A、B、C，相應(yīng)的對(duì)邊邊長(zhǎng)為a、b、c，系數(shù)K(a) = -a^2+b^2+c^2,K(b)、K(c)類推。
三線坐標(biāo)各分量直接乘以相應(yīng)邊長(zhǎng)即可轉(zhuǎn)換為面積坐標(biāo)，以某點(diǎn)的面積坐標(biāo)結(jié)合三頂點(diǎn)坐標(biāo)計(jì)算該點(diǎn)平面直角坐標(biāo)的方法：記某點(diǎn)面積坐標(biāo)為（μa， μb， μc），三分量之和為μ，則有Px = （μa·Xa + μb·Xb + μc·Xc） / μ，Py類推。 五心 名稱 定義 三線坐標(biāo) （內(nèi)心坐標(biāo)） 面積坐標(biāo) （重心坐標(biāo)） 重心 三條中線（頂點(diǎn)到對(duì)邊中點(diǎn)連線）的交點(diǎn) 1/a : 1/b : 1/c 1 : 1 : 1 垂心 三條高（頂點(diǎn)到對(duì)邊的垂線）的交點(diǎn) sec A : sec B : sec C 1/K(a) : 1/K(b) : 1/K(c) 或 tan(A) : tan(B) : tan(C) 內(nèi)心 三條內(nèi)角平分線的交點(diǎn) 1 : 1 : 1 a : b : c 外。
